Όπως έχουμε δει ως πτολεμαϊκά αναφέρουμε τα διαστήματα που οι λόγοι των συχνοτήτων τους έχουν διαφορά την μονάδα. Επίσης αυτά τα διαστήματα αναφέρονται και ως ¨επιμόρια¨.

 

Τέτοια είναι το 2/1 το 3/2 το 4/3 το 9/8 τα 10/9 και τα 16/15 όχι όμως τα 256/243 ή τα 800/729 κλπ

 

Αυτά τα διαστήματα που θα τα αναφέρουμε ως πτολεμαϊκά στο εξής αντιστοιχούν σε αρμονικούς ήχους μιας παλλόμενης χορδής.

 

Έτσι το 2 είναι η διαφορά του 1ου από τον 2ο  αρμονικό το 3/2 η διαφορά του 3ου από τον 2ο το 4/3 του 4ου από τον 3ο κλπ.

 

Καθώς η ένταση των αρμονικών μειώνεται όσο προχωράμε στην σειρά τους, φαίνεται λογικό να σκεφτεί κάποιος, ότι όσο πιο κοντά στον 1ο αρμονικό βρισκόμαστε τόσο μεγαλύτερη συμφωνία θα έχουμε με το ίσο.

 

Όταν έχουμε δυο χορδές τυχαία κουρδισμένες και βαλμένες δίπλα στο ίδιο ηχείο σε κάθε περίπτωση η κίνηση της μιας δημιουργεί συντονισμό και στην άλλη χορδή. Αυτός ο συντονισμός μπορεί να είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος σε ένταση και διάρκεια. Ο συντονισμός είναι τόσο μεγαλύτερος όσο μικρότεροι είναι οι όροι της αναλογίας των κραδασμών (συχνοτήτων)των δυο χορδών. Έτσι αν κουρδίσουμε ίδιες τις χορδές η κίνηση της μιας θα δημιουργεί συντονισμό σε όλο το μήκος της άλλης και έτσι την μεγαλύτερη κίνηση (πλάτος) από κάθε άλλη περίπτωση. Ακολουθεί το κούρδισμα σε διαπασών. Τότε αν κινήσουμε την οξύτερη χορδή θα αρχίσει να πάλλεται και η άλλη δημιουργώντας ένα κύμα σε κάθε μισό της με μικρότερο πλάτος από ότι πριν. Αν κουρδίσουμε μια οκτάβα και μια πέμπτη ψηλότερα και δονήσουμε θα δημιουργηθούν - πάλι από συντονισμό - τρία κύματα μικρότερου πλάτους κτλ.

 

Τι είναι τελικά η συμφωνία ή η καλοηχία. Για τους αρχαίους συμφωνίες ήταν μόνο το 2 το 3/2 και το 4/3. Αντίθετα δεν δέχονταν σαν συμφωνία τον 9/8.

 

Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι τα πτολεμαϊκά διαστήματα είναι πιο σύμφωνα από τα υπόλοιπα και να δεχτούμε μόνο πτολεμαϊκές κλίμακες. Όμως η θεωρία των διαστημάτων μάλλον ισχυρίζεται ότι η χρήση αρμονικών πέρα του 3 προκαλεί διαφορετικά συναισθήματα (θα αναλυθεί στο επόμενο κεφάλαιο) από τα διαστήματα που προκύπτουν από τον 3 αρμονικό και τα παράγωγα του. (3,6,9,12,18,24,27,…). Έτσι μια λογική θέλει πχ τον 32/27 να ακούγεται καλύτερα από τον 6/5 διότι χρησιμοποιεί μόνο δυνάμεις του 2 και 3 και όχι του 5. Ωστόσο σίγουρα σε ένα όργανο καλύτερο ακουστικό αποτέλεσμα επιτυγχάνεται με τον 6/5. Το θέμα του ήθους ας περιμένει λίγο. Έτσι οι Ευρωπαίοι είδαν ότι το σκληρό διάτονο (το μόνο που έχουν σε χρήση από το αμβροσιανό και γρηγοριανό μέλος) συντονίζει καλύτερα τα όργανα αν κουρδιστεί πτολεμαϊκά (ή διδυμικά εδώ) δηλαδή ως

 

9/8   10/9     16/15 …… αντί για

9/8    9/8     256/243 ……….

 

 

Το μαλακό διάτονο που περιγράφει ο Αριστόξενος ή ο Χρύσανθος ή η Πατριαρχική Επιτροπή δεν μπορεί να εκφραστεί πτολεμαϊκά πχ ο Χρύσανθος πλησιάζοντας δίνει το μαλακό διάτονο ως

 

9/8   12/11    88/81 ……

 

Αυτό περιέχει 2 πτολεμαϊκά διαστήματα στα 3 έτσι ο ελάχιστος δίνεται ως μη πτολεμαϊκός.

 

Αν δοκιμάζαμε για ελάσσονα τον λίγο μεγαλύτερο πτολεμαϊκό τόνο 11/10 αντί του 12/11, πάλι ο ελάχιστος δεν θα είναι πτολεμαϊκός

 

9/8     11/10    320/297 …...

 

Πριν δούμε, όμως την μόνη δυνατή πτολεμαϊκή μαλακή διατονική κλίμακα που μπορεί να σχηματιστεί, καλό είναι να ασχοληθούμε με μια σημαντική διαπίστωση.

 

Επιστροφή στην κορυφή

Η πτολεμαϊκή λογική μπορεί να μας δώσει ένα καινούριο μοίρασμα ενός διαστήματος σε δυο μέρη που είναι επίσης πτολεμαϊκά διαστήματα. Είναι η λογική που η φύση χωρίζει ένα διάστημα στην μέση….;

 

Το διάστημα του διαπασών 2/1 μπορεί να μοιραστεί στα πτολεμαϊκά 3/2 και 4/3. Αυτό είναι σαν να μας λέει ότι το Δη και όχι το Γα# είναι το μέσο του διαπασών διότι αυτό χωρίζει το διαπασών σε δυο πτολεμαϊκά σύμφωνα μέρη.

 

Για να βρούμε πως μοιράζεται ένα πτολεμαϊκό διάστημα σε δυο πτολεμαϊκά χρησιμοποιούμε την σχέση.

 

α/α-1 = ((2α-1)/2α-2) χ ((2α)/2α-1).

 

Το διαπασών 2/1 χωρίζεται στα 3/2 και 4/3.

 

Η διοξεία 3/2 χωρίζεται στα 5/4 και 6/5.

 

Η συλλαβή 4/3 χωρίζεται στα 7/6 και 8/7.

 

Η μείζων έκτη 5/4 χωρίζεται στα 9/8 και 10/9.

 

Η ελάσσων έκτη 6/5 χωρίζεται στα 11/10 και 12/11.

 

Η ελαττωμένη τρίτη 7/6 χωρίζεται στα 14/13 και 13/12

 

Ο αυξημένος τόνος 8/7 χωρίζεται στα 16/15 και 15/14.

 

Τέλος ο μείζων τόνος 9/8 χωρίζεται στα 17/16  και 18/17. Αυτή είναι μια διαίρεση του τόνου σε δυο σχεδόν ίδια μέρη 100 cents περίπου και όχι όπως στο λείμα και την αποτομή.

 

Ο φυσικός τόνος 10/9 χωρίζεται στα 19/18 και 20/19 που αντιστοιχούν στο λείμμα του Πυθαγόρα των 90 cents.

 

Τώρα μπορούμε να δούμε την μόνη δυνατή μαλακή διατονική πτολεμαϊκή κλίμακα, που προκύπτει αν εφαρμόσουμε τροχό στο μαλακό διατονικό πτολεμαϊκό πεντάχορδο νη - δη.

 

νη  10/9  πα  11/10  βου  12/11  γα  9/8  δη  10/9   κε  11/10  ζω  12/11  νη (  9/8  πα )        (2 πεντάχορδα - τροχός)

νη  10/9  πα  11/10  βου  12/11 γα  9/8  δη    (πεντάχορδο)

 

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τέσσερις διαφορετικοί τόνοι δίνουν μια πέμπτη

 

3/2  =  9/8  χ  10/9  χ  11/10  χ  12/11

 

Σαν κλίμακα του β ήχου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ίδια διαστήματα ως :

 

11/10    10/9   12/11    9/8 ….  ή

12/11    10/9   11/10    9/8 ….  ή

 

με την χρήση του 7 αρμονικού και τον αυξημένο τόνο 8/7 ή την ελαττωμένη τρίτη 7/6 ως :

 

14/13     8/7     13/12      9/8 ….ή

16/15     7/6     15/14      9/8 …...

 

Το σκληρό χρώμα δίνεται από τα διαστήματα :

 

19/18     6/5    20/19    9/8 …… λαμβάνοντας ως πυκνό τον φυσικό τόνο (10/9  = 19/18  χ  20/19) και ως τριημίτονο την φυσική ελάσσων τρίτη 6/5.

 

Και τέλος το εναρμόνιο γένος των αρχαίων που μπορούμε να δούμε στο κλειτόν ή την σπάθη ως :

 

32/31   31/30   5/4   9/8 ….. λαμβάνοντας ως πυκνό την επιμόρια αποτομή (16/15 = 32/31  χ  31/30 ) και ως δίτονο την φυσική μείζων τρίτη 5/4.

 

Συγκεραστικά….

 

Τα πτολεμαϊκά διαστήματα αποδίδονται μέτρια στα συγκερασμένα συστήματα. Έτσι το σύστημα δια 53 ενώ αποδίδει τέλεια τα 3/2  4/3  5/4  6/5  9/8  10/9  και 16/15, αποτυγχάνει σε ακρίβεια στα διαστήματα που προκύπτουν από τον 7  11 13 17 και 31 αρμονικό δηλαδή τα 8/7  7/6  11/10   12/11   14/13   13/12   18/17   17/16   31/30 και 32/31.

 

Έτσι από τα παραπάνω γένη μπορεί να αποδοθεί πολύ καλά στα 53 το πτολεμαϊκό σκληρό διάτονο με τις αποτομές δηλαδή το

9/8    10/9    16/15    9/8 …….

Το μαλακό διάτονο χρειάζεται 159 μόρια (3χ53) για να αποδοθεί τέλεια, (λόγω της απόκλισης του 11 αρμονικού) ή διόρθωση του 7ου μπερντέ στο 7,3. (νη 8 πα 7,3 βου 6,7 γα 9 δη 8 κε 7,3 ζω 6,7 νη  ή ως νη 8 πα 7 βου 7 γα 9 δη …)

Το σκληρό χρώμα αποδίδεται πολύ καλά ως 4,1 13 3,9 …..

Το μαλακό χρώμα δίδεται μέτρια ως 4,9  11,8  5,3 ή ως  6,1  10,2  5,7.

Το εναρμόνιο αποτυγχάνει στα 32/31 και 31/30.

 

Στο σύστημα δια 72

 

Επιστροφή στην κορυφή

Το πτολεμαικό σκληρό διάτονο πάσχει ελαφρά λόγω των 12,2 μορίων του 9/8 που διορθώνονται σε 12 μόρια και 6,7 μόρια της αποτομής σε 7 μόρια(νη 12,2 πα 11 βου 6,7 γα 12,2 δη 12,2 κε 11 ζω 6,7 νη)

Το μαλακό διάτονο εφαρμόζεται πολύ καλά καθώς τα 10/9  11/10 και 12/11 δίνονται ακριβώς και υπάρχει μόνο ένας τόνος 9/8 διορθωμένος. (νη 11 πα 9,9 βου 9 γα 12,2 δη 11 κε 9,9 ζω 9 νη)

Το σκληρό χρώμα πάσχει καθώς τα 11 μόρια του ελάσσων τόνου δεν μοιράζονται στην μέση. (πα 5,5 βου 23 γα 5,5 δη ….)

Το μαλακό χρώμα δίδεται μέτρια ως 7,2   16   6,7 ή ως  8,3  13,9   7,7.

Το εναρμόνιο αποτυγχάνει.

 

Το σύστημα δια 72 θα μπορούσε να είναι καλύτερο στις πτολεμαϊκές κλίμακες καθώς έχει περισσότερες επιλογές από ότι το δια 53.  Όμως  μόνο στο μαλακό διάτονο ικανοποιεί. Ακρίβεια επιτυγχάνει στα

 

3/4   4/3   6/5  8/7   7/6   10/9   11/10   12/11   18/17  21/20   26/25  27/26.

 

Το δια 53 επιτυγχάνει ακρίβεια στα

 

3/2   4/3   5/4  6/5   9/8   10/9  13/12   16/15  19/18   20/19   25/24   26/25  27/26.

 

Ένα σύστημα με τουλάχιστον 159 μόρια (3χ53) θα μπορούσε να παράγει   ικανοποιητικά όλα τα διαστήματα που υπάρχουν, καθώς η μέγιστη απόσταση οποιουδήποτε διαστήματος από το πλησιέστερο μόριο του συγκερασμού δεν θα ξεπερνάει σε καμιά περίπτωση τα 3,8 cents που είναι κοντά στο μέσο όριο αντίληψης για την παιδική ηλικία(3,5cents).

 

( 1200 / 159 ) / 2  =  3,77 cents

 

Το ζήτημα που μένει να αποφασίσουμε είναι το αν μπορούμε να χρησιμοποιούμε ελεύθερα κάθε διάστημα που προκύπτει από τους αρμονικούς των πρώτων αριθμών(1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,27,29,31) ή αν πρέπει να σταματάμε στον 3ο ή τον 5ο ή τον 7ο ή τον 11ο ή έστω κάποιον αρμονικό και να υπολογίσουμε τους υπόλοιπους με παράγωγα των αρμονικών που δεχόμαστε.

 

Έτσι στα προηγούμενα κεφάλαια είδαμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε τα διάφορα διαστήματα μόνο με τους τρεις πρώτους αρμονικούς (πυθαγόρειος τρόπος) ή και τον 5ο αρμονικό για να απλουστεύσουμε τα νούμερα.

 

Όμως τώρα πρέπει να αποφασίσουμε τι μας ενδιαφέρει. Αν αυτό είναι η ακουστική των οργάνων και ο συντονισμός θα προτιμήσουμε τον 7 αρμονικό για τις ελαττωμένες τρίτες και τον 11ο  για τους ελάσσονες τόνους. Αν μας ενδιαφέρει το συναίσθημα που κάθε διάστημα προκαλεί θα πρέπει να εργαστούμε σκληρότερα για να αποφασίσουμε.

 

Κλείνουμε με τον παρακάτω πίνακα που δίνει όλα τα πτολεμαϊκά διαστήματα μέχρι του 32 αρμονικού σε cents και μόρια στις διαιρέσεις σε 72 και 53.

Επιστροφή στην κορυφή