Η άνιση διαίρεση του τόνου

Το διαπασών αποτελείται από 5 μείζονες τόνους (9/8) και δυο λείματα (256/243) :
(9/8)^5 * (256/243)^2 =2.
Ο τόνος προκύπτει 204 cents  και το λείμα 90 cents.
Η άνιση διαίρεση προκύπτει αναγκαστικά αν θέλουμε να έχουμε ακρίβεια στα διαστήματα του τόνου (9/8) της τετάρτης (4/3) και της πέμπτης (3/2).
Πρόβλημα δεν υπάρχει με την άνιση διαίρεση αντίθετα ο τρίτος ήχος για παράδειγμα δίνεται με απόλυτη ακρίβεια καθώς αν έχεις 2 μείζονες τόνους στην σειρά αυτό που περισσεύει μέχρι την τετάρτη είναι 90 cents.

...

Ο τόνος δεν χωρίζεται στην μέση με την ίδια λογική που δεν τετραγωνίζεται ο κύκλος.....
Ο τόνος ορίζεται ως αναλογία συχνοτήτων 9/8. Δηλαδή αν η μια χορδή δονείται - για παράδειγμα - στα 800 hz, η άλλη θα δονείται στα 900 hz για να έχουμε διάστημα μείζονα τόνου.
Το ήμισυ του τόνου αν υπήρχε θα ήταν μια αναλογία συχνοτήτων που αν πολλαπλασιαζόταν με τον εαυτό της θα έδινε την αναλογία 9/8.
Το ήμισυ του τόνου είναι λοιπόν η ρίζα του 9/8 ή η ρίζα του 9 δηλαδή το 3 δια την ρίζα του 8.
Η ρίζα του 8 είναι ,όμως, ένας απροσδιόριστος αριθμός που τα δεκαδικά του ψηφία είναι άπειρα (όμοια απροσδιόριστος είναι και ο π =3.14 .....) Έτσι η συχνότητα της βάσης του διαστήματος θα είναι πάντα απροσδιόριστη άρα απροσδιόριστη είναι και η αναλογία και το ίδιο το διάστημα.
Αποτέλεσμα του παραπάνω είναι ότι οποιαδήποτε ποσότητα και αν δεχτούμε για ήμισυ του τόνου, το διπλάσιο της δεν θα δίνει ποτέ τόνο ακριβώς.

Αντίθετα αν πολλαπλασιάσουμε το λείμα με την αποτομή - το μικρό και το μεγάλο δηλαδή ημιτόνιο - έχουμε ένα τόνο ακριβώς.

λείμα χ αποτομή = μείζων τόνος

256/243  χ 2187/2048 = 9/8

3/(ρίζα 8) Χ 3/(ρίζα 8) = μείζων τόνος .. (αλλά ρίζα 8 = απροσδιόριστο).
Επίσης το λείμα με δυο μείζονες τόνους δίνουν μια τετάρτη δηλαδή το απήχημα του τρίτου ήχου (νη-γα) ακριβώς, ενώ οι δυόμιση τόνοι με την ρίζα του 8 πως θα μπορούσαν να δίνουν 4/3 τετάρτη καθαρή (νη -γα ή πα - δη κτλ) ;

9/8 χ 9/8 χ 256/243 = 4/3
9/8 χ 9/8 χ 3/(ρίζα 8) = απροσδιόριστο 

....

Το σίγουρο είναι ότι δεν υπάρχει λόγος ακεραίων που να ισούται με μισό τόνο. Αυτό εννοούμε όταν λέμε δεν διαιρείται ο τόνος ακριβώς στη μέση.
Στο πείραμα του Αριστόξενου. Ουσιαστικά οι μικρές αποκλίσεις που δεχόμαστε (72 μόρια αντί 70.6 και 200 μόρια αντί για 204)  γίνονται φανερές στα όργανα και μπλοκάρουν την εξέλιξη της παράδοσης σε μια φτηνή απομίμηση της ανθρώπινης φωνής. Οι μικρές αποκλίσεις των τόνων στον τρίτο ήχο δίνουν - με το 12 12 6 12 12 12 6 - μια πιο μαλακή χροιά στο άκουσμα του, μια και το ακριβές θα ήταν 12 12 5.3 12 12 12 5.3 (αυτό που λέει αυθόρμητα η φωνή όταν δεν επηρεάζεται από όργανα παρά μόνο από την ενθύμηση του μέλους) ή στα 53 μόρια χωρίς δεκαδικά 9 9 4 9 9 4 9.
Η ανακάλυψη του Πυθαγόρα ήταν ότι η φωνή και η αίσθηση ακολουθούν νόμους βασισμένους σε αριθμητικές αναλογίες ακεραίων αριθμών. Για παράδειγμα στο απήχημα του τρίτου ήχου η φωνή μεταβάλει την συχνότητα ακριβώς κατά 1/3 της αρχικής και αυτή γίνεται 4/3 της αρχικής. Ακριβώς! Λίγο δίπλα ακούγεται λάθος στο 4.1/3 της αρχικής για παράδειγμα.
Για αυτό ακριβώς το λόγο οι πυθαγόρειοι ισχυρίζονταν ότι ό αρχικός ένας δημιουργός θεός (ο άγνωστος θεός ;;; συνιστάς του σύμπαντος) δημιούργησε την ψυχή των όλων με αναλογίες που προκύπτουν από τα μισά και τα τρίτα δηλαδή της δυνάμεις του 2 και του 3.
Στον "Τίμαιο" του Πλάτωνα βρίσκεται με ακρίβεια αυτό που εξηγεί ο Νικόμαχος για κατατομή μέχρι το 27 πλάσιο.

 

Στην Κλασσική περίοδο της Ευρωπαϊκής μουσικής χρησιμοποιήθηκαν στα κλειδοκύμβαλα καλώς συγκερασμένα 12φθογγα συστήματα κουρδίσματος όπου υπήρχαν λείματα, αποτομές αλλά και ημίτονα (95-105 cents). Παλαιότερα κουρδίσματα απέφευγαν ακόμα περισσότερο τα ημίτονα είχαν όμως περιορισμούς στις μεταφορές.
Ο ίσος συγκερασμός επιβλήθηκε πολύ πρόσφατα μόνο μετά τη μέση του 19ου αιώνα εξαιτίας των συνεχόμενων μετατροπιών στην μουσική του όψιμου ρομαντισμού (Βάγκνερ κλπ).

Αυτό οδήγησε λογικά στο δωδεκάφθογγο σύστημα του 20ου αιώνα όπου οι κλίμακες έχουν 12 νότες που παίζονται με συγκεκριμένες σειρές.
Η μουσική αυτή ταιριάζει μόνο με τα δημιουργήματα του ανθρώπου. Με τους πολέμους, την βιομηχανική και τεχνολογική επανάσταση αλλά και την μόλυνση του περιβάλλοντος και την απομάκρυνση από την φύση, το αόρατο, το θείο. Αυτό που ξέρουμε ότι είναι εκεί χωρίς να ξέρουμε τι είναι.