5. Η προσφορά του Αριστόξενου

Ο Αριστόξενος ξεκινά τη μελέτη των μικροδιαστημάτων από το εναρμόνιο γένος. Το εναρμόνιο τετράχορδο αποτελείται από ένα δίτονο και 2 ίσα μικροδιαστήματα που μαζί δίνουν ένα λείμμα. Αυτό το διάστημα που είναι το μισό του λείμματος ονομάζεται «ελάχιστη δίεση».

Λείμμα/2
Λείμμα/2
Δίτονο
Ι Ι Ι
Υπάτη Ι Παρυπάτη
Ι Λιχανός
Ι Μέση
(ΜΙ) Ι (ΦΑ) Ι (ΣΟΛ)
Ι (ΛΑ)
(ΒΟΥ) Ι (ΓΑ)
Ι (ΔΙ) Ι (ΚΕ)

Το χρωματικό και το εναρμόνιο γένος σε αντίθεση με το διατονικό κάνουν χρήση του λεγόμενου «πυκνού» το οποίο αποτελείται από δυο διαστήματα που στο σύνολο τους είναι μικρότερα από μισή συλλαβή (δηλαδή διαστήματος τετάρτης καθαρής) και είναι ίσα μεταξύ τους ή άνισα.

Όπως είδαμε στο εναρμόνιο γένος το πυκνό αποτελείται από 2 ελάχιστες διέσεις και ισούται με ένα λείμμα. Στο χρωματικό γένος τώρα το πυκνό αποτελείται από δυο όμοια ή ανόμοια διαστήματα και μπορεί να είναι το 2/3 του τόνου ή ένας τόνος ή τα 4/3 του τόνου.

Έτσι όλα είναι απλά. Ο Αριστόξενος αποφεύγει πολύπλοκους αριθμητικούς λόγους που προκύπτουν από παραπέρα διαίρεση της πυθαγόρειας κλίμακας. Όλα αυτά φάνηκαν λογικά στους μουσικούς και τα αποδέχτηκαν.

Όταν τώρα ήθελαν να υπολογίσουν ένα διάστημα (πχ για να δέσουν ένα δεσμό σε ένα έγχορδο με μπράτσο) χρησιμοποιούσαν λόγους που ο αριθμητής τους ήταν κατά ένα μεγαλύτερος από τον παρανομαστή. Αυτά τα διαστήματα αναφέρονται ως «πτολεμαϊκά» μια και τα γνωρίζουμε από τον Πτολεμαίο.

Έτσι έχουμε: 1 2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 7/6 8/7 9/8 10/9 κτλ

Το 1/3 του τόνου αντιστοιχεί στο 25/24 και τα 2/3 του τόνου στο 27/25 (9/8 : 25/24 = 27/25)

Για να δέσουν λοιπόν ένα δεσμό σε απόσταση τόνου διαιρούσαν τη χορδή σε 9 μέρη και έβαζαν το δεσμό στο τέλος του πρώτου μέρους. Αυτά τα διαστήματα εκτός του τόνου της τετάρτης και της πέμπτης απλώς προσεγγίζουν τα πραγματικά διαστήματα που εννοεί ο Αριστόξενος και ο Πυθαγόρας αλλά είναι εύκολα στη χρήση τους χωρίς να χρειάζονται πολύπλοκοι υπολογισμοί. Με τη χρήση όμως των λογαρίθμων και των υπολογιστών, σήμερα, δεν έχουμε λόγο να τα προτιμάμε παρά μόνο για πρακτικούς λόγους. Για παράδειγμα το 1/3 του τόνου είναι ακριβώς η τρίτη ρίζα του 9/8 που ισούται με 1,04004 ενώ τα 25/24 = 1,04167 . Τα δυο αυτά διαστήματα διαφέρουν κατά 2,5 cents (η οκτάβα αποτελείται από 1200 cents).

Αλλά και η εργασία του Αριστόξενου δεν είναι απόλυτα ακριβής διότι και το ανθρώπινο αυτί έχει σχετική ακρίβεια, δηλαδή, διαφέρει από άνθρωπο σε άνθρωπο και μειώνεται ακόμα με την ηλικία.

Σύγχρονες έρευνες δείχνουν ότι η ικανότητα του αυτιού να διακρίνει μικρές διαφορές συχνότητας εξαρτάται από την ηλικία και είναι κατά μέσο όρο 3,5 cents στις μικρές ηλικίες και μέχρι 8 cents στις μεγάλες. Έτσι συνήθως αναφέρονται τα 5 cents ως ο μέσος όρος για τον άνθρωπο, και τα 2 cents ως ανθρώπινο όριο.

Τίποτα δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ως λάθος αν λάβουμε υπόψη ότι η ακρίβεια του αυτιού να διακρίνει μικροδιαφορές στα διαστήματα είναι σχετική.

Το 1/4 του τόνου αναφέρεται ως «εναρμόνια δίεση». Ο Αριστόξενος θεωρεί ότι είναι το μικρότερο διάστημα που μπορεί να τραγουδηθεί και να συμμετέχει σε μια μελωδία. Το εναρμόνιο βέβαια γένος όπου γίνεται χρήση της ελάχιστης δίεσης υπήρχε πριν αυτόν. Το ερώτημα λοιπόν είναι πιο είναι η ελάχιστη δίεση’ μήπως το 1/4 του τόνου ή το 1/2 του λείμματος.