11. Συνέχεια στην κατατομή του κανόνα

Ας συνεχίσουμε τώρα στην κατατομή του κανόνα όπως προκύπτει από τον Πυθαγόρα. Δεχόμαστε μόνο τους 3 πρώτους αρμονικούς δηλαδή το ίσο, το διαπασών και το διαπέντε και από αυτούς υπολογίζουμε όλα τα άλλα διαστήματα. Μέχρι στιγμής έχουμε δει τα εξής διαστήματα:

Ίσο 1 = 1 = 1
Διαπασών 2 = 2 = 2
Διαπέντε 3/2 = 3/2 = 1,5
Διατέσσερα
22/3 = 4/3 = 1,3333
Τριημίτονο
25/33 = 32/27 = 1,1852
Μείζων Τόνος
32/23 = 9/8 = 1,125
Λείμμα
28/35 = 256/243 = 1,0535

Να πούμε τώρα ότι όλες οι δυνάμεις του 2 δείχνουν το φθόγγο του ίσου έστω ΝΗ , ενώ κάθε 2 αριθμούς που μεγαλώνει η δύναμη του 3 σημαίνει ανέβασμα τόνου και κάθε 1 αριθμό ανέβασμα διαπέντε (5κ). Δηλαδή το 3 δείχνει τον ΔΗ, το 32 τον ΠΑ, το 33 τον ΚΕ, το 35 τον ΖΩ. Έτσι έχουμε:

3/2 => ΝΗ-ΔΗ , 4/3 => ΔΗ-ΝΗ , 9/8 =>ΝΗ-ΠΑ , 32/27 =>ΚΕ-ΝΗ, 256/243 => ΖΩ-ΝΗ

Εύκολα τώρα μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι 6 τόνοι δίνουν διάστημα μεγαλύτερο του διαπασών αφού 312/218 > 2 ή με άλλα λόγια αν προχωρήσουμε 6 τόνους από το ΝΗ ο φθόγγος που θα φτάσουμε θα έχει μεγαλύτερη συχνότητα (κραδασμό) από το ΝΗ’ αφού 312/219 > 1

Αυτή η διαφορά ( 312/219 ) ονομάστηκε «Πυθαγόρειο κόμμα» και κατά Πτολεμαίο ταιριάζει να είναι το διάστημα 74/73.

Πυθαγόρειο κόμμα 312/219 = 531441 / 524288 = 1,0136

Αν συνεχίσουμε ανεβαίνοντας άλλους 6 τόνους η διαφορά θα διπλασιαστεί και θα γίνει περίπου 37/36 κατά Πτολεμαίο.

Δυο πυθαγόρεια κόμματα 324/238 = 282429536481 / 274877906944 = 1,0275 περίπου 37/36 (κατά Πτολεμαίο).

Να επισημάνουμε εδώ ότι αυτό το διάστημα απέχει από το 1/4 του τόνου (4η ρίζα του 9/8 = 1,0299) λίγο πολύ 4cents (μόνο νεαρά άτομα μπορούν να αντιληφθούν τη διαφορά των δυο διαστημάτων). Από την εναρμόνια δίεση μόλις 1,8cents (τετραγωνική ρίζα του 256/243 = 1,0264). Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ως εναρμόνια δίεση το παραπάνω διάστημα.

Εναρμόνια δίεση 324/238 = 282429536481 / 274877906944 = 1,0275

Αν το λείμμα αφαιρεθεί από τον μείζων τόνο προκύπτει η «αποτομή».

(32/23) / (28/35) = 37/211

Αποτομή 37/211 = 2187/2048 = 1,0679

Αν την αναλύσουμε βλέπουμε ότι προκύπτει αν ανέβουμε ένα μείζων τόνο πάνω από τον ΖΩ και αντί να φτάσουμε στο ΝΗ που απέχει λείμμα από τον ΖΩ φτάνουμε σε φθόγγο κατά μια αποτομή πάνω από τον ΝΗ (ΝΗ#).

Στη συνέχεια αφαιρώντας μια αποτομή από το τριημίτονο προκύπτει ένας τόνος μικρότερος του μείζονα έστω ο «φυσικός τόνος» Ας μας επιτραπεί να τον ονομάσουμε έτσι μια και αποτελεί την πυθαγόρεια έκφραση του διδυμικού 10/9 που βρίσκεται μόλις 1.9 cents δίπλα του (φυσικό τόνο αναφέρουν τον διδυμικό οι Ευρωπαίοι).

(25/33) / (27/211) = 216/310

Φυσικός τόνος 216/310 = 65536/59049 = 1,1099

Εύκολα διακρίνουμε ότι ο τόνος αυτός συνίσταται από 2 λείμματα και μαζί με 5 μείζων τόνους συμπληρώνει το διαπασών ακριβώς.

(32/23)5 * (216/310) = (310/215)*( 216/310) = 2

Ακόμα παρατηρούμε ότι ένας μείζων τόνος, ένας φυσικός τόνος και μια αποτομή συνιστούν συλλαβή (4κ).

(32/23) * (216/310) * (37/211) = 22/3

Τι θα μείνει όμως αν από ένα φυσικό τόνο αφαιρεθεί μια αποτομή; Θα φανερωθεί ένα διάστημα που είναι τόσο μικρότερο από το λείμμα όσο η αποτομή είναι μεγαλύτερη από το λείμμα.

(216/310) : (37/211) = 227/317

Αυτό το διάστημα είναι σχεδόν ίσο με το 1/3 του τόνου αφού η Τρίτη ρίζα του 9/8 είναι ίσο με 1,040 ενώ 227/317 = 1,0393. Η διαφορά είναι μόλις 1,2 cents. Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε αυτό το διάστημα ως το 1/3 του τόνου. Αυτό το διάστημα αναφέρεται από τους αρχαίους ως «χρωματική δίεση».

Χρωματική δίεση 227/317 = 134217728 / 129140163 = 1,0393

Το διάστημα αυτό προκύπτει αν προχωρήσουμε 8 τόνους στη σειρά και μια πέμπτη καθαρή. Φτάνουμε τότε στο φθόγγο ΖΩ ανεβασμένο κατά ένα πυθαγόρειο κόμμα έστω ΖΩ’. Η απόσταση αυτού του ΖΩ’ από το διπλανό ΝΗ είναι 1/3 του τόνου. ΖΩ’-ΝΗ = 1/3 του τόνου.

Αν τώρα αφαιρέσουμε μια χρωματική δίεση από τον μείζων τόνο θα σχηματίσουμε τα 2/3 του τόνου.

32/23 : 227/317 = 319/230

Αυτό το διάστημα προκύπτει αν από το προηγούμενο ΖΩ’ ανέβουμε ένα τόνο και φτάσουμε στον ΠΑ (κατεβασμένο τόσο ώστε να σχηματίζει 2/3 του τόνου με τον διπλανό ΝΗ). Αυτό το διάστημα αναφέρεται ως «ελάχιστος τόνος» (η Επιτροπή τον υπολογίζει ως 27/25).

Ελάχιστος τόνος 319/230 = 1162261467 / 1073741824 = 1,0824

Αυτός ο τόνος συμπληρώνει το τριημίτονο με έναν άλλο τόνο μικρότερο του μείζονα και του φυσικού τόνου που μπορούμε να τον ονομάσουμε «ελάσσων τόνο» (η Επιτροπή τον υπολογίζει ως 800/729).

25/33 : 319/230 = 235/322

Ελάσσων τόνος 235/322 = 34359738368 / 31381059609 = 1,0949

Προκύπτει αν πάρουμε 11 τόνους στη σειρά και φτάσουμε σε ένα ΚΕ τόσο αυξημένο που να σχηματίζει με τον επόμενο ΝΗ έναν τέτοιο τόνο.

Επιστροφή στην κορυφή

Ας συνοψίσουμε τώρα όλα τα διαστήματα που έχουν παραχθεί.

Ίσο
1 1 1
Διαπασών
2 2 2
Διαπέντε
3/2
3 / 2
1,5
Διατέσσερα
22/3
4 / 3
1,3333
Τριημίτονο
25/33
32 / 27
1,1852
Μείζων Τόνος
32/23
9 / 8
1,125
Φυσικός τόνος 216/310 65536 / 59049 1,1099
Ελάσσων τόνος 235/322 34359738368 / 31381059609 1,0949
Ελάχιστος τόνος 319/230 1162261467 / 1073741824 1,0824
Αποτομή 37/211 2187 / 2048 1,0679
Λείμμα 28/35 256 / 243 1,0535
Χρωματική δίεση 227/317 134217728 / 129140163 1,0393
Εναρμόνια δίεση 324/238 282429536481 / 274877906944 1,0275
Πυθαγόρειο κόμμα 312/219 531441 / 524288 1,0136

 

Όλα τα παραπάνω διαστήματα που είναι μικρότερα του μείζων τόνου μπορεί να έχουν το φθόγγο του ίσου (ΝΗ) βάση ή κορυφή. Στην πρώτη περίπτωση το 2 είναι στον παρανομαστή και στην δεύτερη στον αριθμητή. Παρατηρούμε τα πρώτα να λειτουργούν ως ανιόντα και τα δεύτερα ως κατιόντα. Κάθε ανιόν μπορεί να υπολογιστεί και ως κατιόν και το αντίστροφο. Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας:

Ίσο
1 1
Διαπασών
2 2
Διαπέντε
3/2
3 / 2
Διατέσσερα
22/3
22/3
Τριημίτονο
25/33
25/33
Μείζων Τόνος
32/23
281/351
Φυσικός τόνος 216/310 343/268
Ελάσσων τόνος 235/322 331/249
Ελάχιστος τόνος 319/230 254/334
Αποτομή 37/211 273/346
Λείμμα 28/35 348/276
Χρωματική δίεση 227/317 336/257
Εναρμόνια δίεση 324/238 246/329
Πυθαγόρειο κόμμα 312/219 265/341

 

Τα διαστήματα κάθε ζευγαριού διαφέρουν κατά 353/284 δηλαδή περίπου 3.6cents. Αυτό το διάστημα είναι στο όριο αντίληψης των νεαρών ατόμων όπως είδαμε και παραπάνω και προκύπτει αν πάρουμε 26 τόνους στη σειρά και μια πέμπτη και φτάσουμε σε ένα φθόγγο μόλις 3.6cents οξύτερο του φθόγγου του ίσου. Αν όμως κάποιοι μπορούν να αντιληφθούν τόσο μικρή διαφορά στην οξύτητα σίγουρα κανείς δεν μπορεί να την αποδώσει με τη φωνή του.

Ας επιτραπεί να αποκαλούμε το παρακάτω διάστημα «Ανοχή».

Ανοχή = 353/284

Αν το πυθαγόρειο κόμμα οδηγεί σε συγκερασμούς μικρότερους των εκατό μορίων η ανοχή οδηγεί σε συγκερασμό κοντά στα 300 μόρια.

Χρησιμοποιώντας τώρα τον παραπάνω πίνακα μπορούμε να δούμε ότι το λείμμα με την αποτομή, ο ελάχιστος τόνος με τη χρωματική δίεση, ο ελάσσων τόνος με την εναρμόνια δίεση και ο φυσικός τόνος με το πυθαγόρειο κόμμα συμπληρώνουν κάθε φορά ένα μείζων τόνο. Ακόμα ότι αν προσθέσουμε ένα Πυθαγόρειο κόμμα σε κάθε άλλο διάστημα μικρότερο του τόνου θα προκύψει το μεγαλύτερο του.

Λείμμα + Αποτομή = Μείζων τόνος :

28/35 * 37/211 = 32/23 = 9/8

Ελάχιστος τόνος + Χρωματική δίεση = Μείζων τόνος :

319/230 * 227/317 = 32/23 = 9/8

Ελάσσων τόνος + Εναρμόνια δίεση = Μείζων τόνος :

235/322 * 324/238 = 32/23 = 9/8

Φυσικός τόνος + Πυθαγόρειο κόμμα = Μείζων τόνος :

216/310 * 312/219 = 32/23 = 9/8

Πυθαγόρειο κόμμα + Εναρμόνια δίεση = Χρωματική δίεση :

312/219 * 246/329 = 227/317

Πυθαγόρειο κόμμα + Χρωματική δίεση = Λείμμα :

312/219 * 227/317 = 28/35

Πυθαγόρειο κόμμα + Λείμμα = Αποτομή :

312/219 * 28/35 = 37/211

Πυθαγόρειο κόμμα + Αποτομή = Ελάχιστος τόνος :

312/219 * 37/211 = 319/230

Πυθαγόρειο κόμμα + Ελάχιστος τόνος = Ελάσσων τόνος :

312/219 * 254/334 = 235/322

Πυθαγόρειο κόμμα + Ελάσσων τόνος = Φυσικός τόνος :

312/219 * 235/322 = 216/310

Επιστροφή στην κορυφή